A niechaj narodowie wżdy postronni znają, Iż Polacy nie gęsi, iż swój język mają!

Wielce Szanowni Państwo!

Dnia 14 października A.D. 2010 w Cambridge (Massachusetts, USA) zmarł Benoît B. Mandelbrot (1), zwany ojcem fraktali. Dlaczego zdecydowałem się o tym napisać? Z dwóch powodów: po pierwsze fraktale są trendy, po drugie Mandelbrot urodził się w Polsce. Zainspirowany przez Jamesa Burke’a, dla którego byle chabeta krwi angielskiej to ewidentne British connection postanowiłem podkreślać wszystko, co polskie. Dlatego jako motto zacytowałem Imć Mikołaja herbu Oksza.

Tak naprawdę Mandelbrot jest właściwie ojcem chrzestnym, to on w latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku wymyślił nazwę fraktal (z łac. fractus – złamany, cząstkowy) dla pewnej klasy obiektów geometrycznych którymi przed nim zajmowało się wielu matematyków. Aby nie być gołosłownym przytaczam polski (sic!) przepis pochodzący z roku 1915:1) Narysuj trójkąt równoboczny.2) Zaznacz środki boków i połącz je, otrzymując cztery trójkąty.3) Wyrzuć środkowy trójkąt.4) Na pozostałych trójkątach powtarzaj kroki 2 do 4. rys. 1. Trójkąt Sierpińskiego Takim oto sposobem, natychmiast po wykonaniu nieskończonej ilości powtórzeń, otrzymacie Państwo trójkąt Sierpińskiego (2) (rysunek 1). Polecam na długie zimowe wieczory, bardzo zajmujące. rys. 2. Fraktal Mandelbrota To jeden z najprostszych fraktali, ale ma wszystkie ich podstawowe cechy: prosty algorytm prowadzi do otrzymania fgury o skomplikowanym kształcie trudnym do opisania w geometrii euklidesowej; nieskończenie subtelną strukturę wynikającą z nieskończonej ilości iteracji; samo-podobieństwo oznaczające, że części fgury są podobne do całości lub jej fragmentów. rys. 3. Fraktalne roślinki Pracujący dla IBM Mandelbrot był w zdecydowanie lepszej sytuacji niż jego starsi koledzy. Mając dostęp do najnowocześniejszych komputerów, mógł je obarczyć całą czarną robotą, a sam spijać śmietankę. Opublikowane przez niego wizualizacje (rysunek 2) oraz książka Te Fractal Geometry of Nature (1982) spowodowały wybuch istnej „gorączki fraktalnej”. Zarówno z powodu ich urzekającej, hipnotycznej estetyki, jak również podobieństwa do tworów naturalnych. Mnie ten bąbel kojarzy się z jakąś pączkującą pra-komórką z zupy pierwotnej, listek w tle strony to fraktal zwany paprotką Barnsley’a. Fraktalną strukturę mają też płatki śniegu, dendryty, korony drzew, układ krwionośny, zlewnie rzek etc, etc… A że za sprawą IBM właśnie zaczęła się wówczas era pecetów, dostęp do komputerów spowszechniał i jedynym ograniczeniem dla eksperymentów stała się wyobraźnia. Kształt fraktala zależy od zastosowanego algorytmu, to oczywiste. A gdyby użyć gramatyki tzw. formalnej Lidenmayera opisującej wzrost roślin (L-system)? Na ten błogosławiony pomysł jako pierwszy wpadł polski informatyk Przemysław Prusinkiewicz (3), czym zainicjował nową gałąź badań. Skromną próbkę jej możliwości przedstawia rysunek 3. Czy jesteśmy ograniczeni do roślin? Oczywiście, że nie! Rysunek 4 ilustruje efekt zastosowania w algorytmie zmiennych losowych o rozkładzie ruchów Browna, opisanych równaniem Einsteina-Smoluchowskiego (4). Ten ostatni to postać w Polsce niemal nieznana, a przecież niepośledniego kalibru! Ma swój krater na Księżycu, sam Albert Einstein zaś, po jego przedwczesnej śmierci, opublikował artykuł zatytułowany Marian v. Smoluchowski (5). Inną, ciekawą dziedziną zastosowań fraktali jest modelowanie procesów. „Stochastyczne fraktale” pozwalają na przewidywanie trendów giełdowych czy zjawisk przyrodniczych dokładniej niż tradycyjne metody. Pozwala to badać fraktalne lawiny na fraktalnych zboczach, nie ryzykując nawet odmrożenia uszu. rys. 4. Fraktalny krajobraz Największym konsumentem fraktali wydaje się jednak grafka komputerowa, do której niemały wkład wniósł inny Polak, Marek Hołyński (6). Te wszystkie landszafy, roślinki, a zwłaszcza poddające się wiatrowi włosy animowanych postaci w grach komputerowych i kinowych produkcjach, to właśnie fraktale. A że ten rynek wart jest setki miliardów dolarów, geometria fraktalna rozkwita. Dzisiaj, Moiściewy, jest trochę jak w złotych latach sześćdziesiątych, kiedy to po zbudowaniu przez Maimana pierwszego lasera nikt (poza Jamesem Bondem) za bardzo nie wiedział, do czego to cudo wykorzystać. Ot, edukacyjna zabawka, piękne potwierdzenie teoretycznych przewidywań Einsteina, i tyle. A dzisiaj? Lasery są wszędzie: od domowych odtwarzaczy po działa laserowe rodem z Gwiezdnych Wojen (tych Reagana, rzecz jasna). Sądzę, że podobna przyszłość czeka geometrię fraktalną. I nie zapominajmy, że w jej tworzeniu jest niemały polski udział.

Życzę Państwu wesołych Świąt i szczęśliwego Nowego Roku! W rzeczywistości realnej, rzecz jasna.

Z.M.

Wszystkie grafki zamieszczone w tym artykule zostały wygenerowane przez Autora za pomocą Wolnego Oprogramowania lub pobrane z Wikimedia Commons.

(Endnotes)1. † Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), francuski matematyk polskiego pochodzenia pracujący w USA.. Jego książka Te Fractal Geometry of Nature, (1982) weszła do kanonu tej dziedziny.2. † Wacław Sierpiński (1882-1969), polski matematyk, profesor U.W., jeden z twórców Polskiej szkoły matematycznej. 3. Przemysław Prusinkiewicz, polski informatyk, profesor Uniwersytetu w Calgary, specjalista od zastosowania fraktali w modelowaniu form roślinnych. (P.Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, The Algorithmic Beauty of Plants, 1990).4. † Marian Smoluchowski (1872-1917), polski fzyk, profesor U.J. specjalizował się w fzyce statystycznej.5. † Albert Einstein. Marian v. Smoluchowski. „Naturwissenschafen”. 5 (50), 737-738 (1917)6. Marek Hołyński, polski informatyk, dyrektor Instytutu Maszyn Matematycznych w Warszawie, specjalista w dziedzinie grafki komputerowej, współtwórca stacji grafcznych Silicon Graphics i standardu openGL.